Numerische Differentiation Beispiel Essay



und bei Abbruch nach dem ersten Term schließlich



bzw. in zentralen Differenzen



Der Abbruch nach dem zweiten Term der Taylorreihe liefert hingegen

mit



und somit schließlich



allerdings ist diese Näherung der symmetrischen Approximation unterlegen; bei beiden wächst der Approximationsfehler zwar mit

, (*) hat jedoch den kleineren Vorfaktor. Die zweite Ableitung folgt mit

zu



bzw. bei Abbruch nach



Wegen des Rundungsfehlers und möglicher Auslöschung von Ziffern durch Differenzbildung ist die Wahl von

sehr kritisch. Bezeichnet

die relative Genauigkeit, mit der

berechnet wird, so sollte bei der symmetrischen Approximation von

das Inkrement

als



gewählt werden.

Eine numerische effiziente Berechnung der Ableitung kann man in analoger Weise zum Romberg-Verfahren durch Extrapolation gewinnen.

In der Numerischen Mathematik bezeichnet man mit numerischer Differentiation die näherungsweise Berechnung der Ableitung aus gegebenen Funktionswerten, meist mittels eines Differenzenquotienten. Dies ist nötig, falls die Ableitungsfunktion nicht gegeben ist oder die Funktion selbst nur indirekt, beispielsweise über Messwerte, zur Verfügung steht. Im Gegensatz dazu wird beim automatischen Differenzieren der Code, der die betrachtete Funktion definiert, um eine Ableitungsfunktion erweitert.

Ist der Abstand (h) der Funktionswerte gering, so wäre bei beliebig genauer Rechnung die Näherung zunächst besser. Allerdings tritt bei der Berechnung mittels GleitkommazahlenAuslöschung auf, weswegen das gewählte h von der Maschinengenauigkeit abhängige Schranken nicht unterschreiten darf.

Alternativ kann man auch differenzierbare Approximationen von Funktionen wie zum Beispiel kubische Splines verwenden. Ist man nicht am gesamten Funktionsverlauf, sondern nur an einzelnen Stellen interessiert, so existieren spezielle Formeln.

In praktischer Anwendung sind die Funktionswerte oft fehlerbehaftet. Daher werden zum Beispiel zur KantendetektionSobel-Operatoren verwendet, die gleichzeitig eine Glättung durchführen. Eine weitere Möglichkeit bietet die Verwendung von geglätteten Splines (auch Ausgleichssplines).

Differenzenquotient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Differenzenquotient

Ein naheliegender Ansatz ist die Verwendung des Vorwärtsdifferenzenquotienten:

Dabei ist jedoch die Näherung im Vergleich zur Auslöschung relativ schlecht. Eine bessere Näherung erhält man durch Verwendung des zentralen Differenzenquotienten:

Mittels lokaler Polynominterpolation lässt sich diese Näherung noch weiter verbessern. Für die -Notation siehe Landau-Symbole.

Numerische Differentiation unter Verwendung komplexer Variable[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Problem bei der Anwendung eines klassischen Differenzenquotienten ist die Wahl einer optimalen Schreitweite . Ein zu großes führt zu Rundungsfehlern, während ein zu kleines zu Auslöschung führt. Die numerische Auslöschung infolge der Subtraktion kann durch die komplexwertige Approximation

verhindert werden.[1]

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir betrachten die Taylorreihe von am Entwicklungspunkt

Abbruch nach dem linearen Glied und Umstellung nach liefert den oben genannten Vorwärtsdifferenzenquotienten. Wir ersetzen nun die reelle Schrittweite durch die imaginäre Schrittweite und erhalten

Betrachten wir nun nur den Imaginäranteil dieser Taylorreihe, so erhalten wir

was bei Abbruch nach dem linearen Glied auf die oben angegebene Näherung der Ableitung mit dem Fehler führt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Hans Rudolf Schwarz: Numerische Mathematik. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1997, ISBN 3-519-32960-3.
  • Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens. B. G. Teubner, Stuttgart u. a. 2002, ISBN 3-519-00356-2.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. ↑W. Squire, G. Trapp (1998) Using Complex Variables to Estimate Derivatives of Real Function, SIAM Rev., 40(1):110-112. doi:10.1137/S003614459631241X
Fehlerverhalten der numerischen Differentiation

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