Planetengetriebe Berechnung Beispiel Essay

Übersetzungsrechner für Planetengetriebe

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In der Schraubtechnik werden fast ausschließlich Planetengetriebe verwendet, um die erforderlichen Drehmomente zu erzeugen. Der Grund hierfür ist deren hohe Leistungsdichte bezogen auf den erforderlichen Bauraum, was, wichtig für handgehaltene Abschaltschrauber, ein geringes Gewicht bedingt. Planetengetriebe für Hochmomentschrauber sind in der Regel Sonderkonstruktionen. Das ist mit den mechanischen Anfroderungen zu erklären. Das abgegebene maximale Drehmoment (Abschaltmoment) wird in der Regel nur für einen kleinen Drehwinkelbereich abverlangt. Hinzu kommen vergleichsweise geringe Abtriebsdrehzahlen und Einschaltzeiten. Diese und weitere Parameter führen zusammen mit einer Auslegung der Planetengetriebe auf Zeitfestigkeit zu kleinen Getriebedurchmessern gegenüber etwa Standardservogetrieben.

In der Schraubtechnik werden Planetengetriebe üblicherweise am Sonnenrad (gelb) angetrieben. Am Hohlrad (blau) ist die Drehmomentabstützung angebracht, seine Drehzahl ist also Null. Die Nuß wird am verlängerten Planetenträger (rot) -auch Steg genannt- aufgesteckt.

Der Antrieb kann auch am Hohlrad oder am Planetenträger erfolgen. Das hat unterschiedliche Untersetzungsverhältnisse und Abtriebsrichtungen zur Folge. (Anm.: Der Übersetzungsrechner rechnet unter der Voraussetzung, daß eine Einheit des Getriebes (Sonne, Planetenträger oder Hohlrad) feststeht, sich also nicht dreht). Die Gesamtübersetzung mehrstufiger Planetengetriebe wird durch Multiplikation der Übersetzungen der einzelnen Stufen berechnet.

Die Zähnezahl der Planeten wirkt sich nicht auf das Übersetzungsverhältnis aus. Ihre Zähnezahl ist jedoch von der Übersetzung abhängig. Die Planeten sind lediglich als Vermittler bzw. als Überbrückung zwischen Sonnenritzel und Hohlrad zu sehen.

Unten können Berechnungen mit eigenen Werten durchgeführt werden (Berechnung mit ENTER oder TAB starten). Eingabewerte sind die Anzahl der Zähne für Sonnenritzel und Hohlrad sowie die Antriebsdrehzahl. Als Ergebnis wird das Untersetzungsverhältnis angezeigt (z.B. Hohlrad: 47 Zähne, Sonne: 9 Zähne, Ergebnis: 6,22:1). Dabei ist das Vorzeichen zu beachten: Ein "Minus" bedeutet, daß die Drehrichtung entgegengesetzt zur Eingangsdrehrichtung läuft. Dezimalkommas werden als Punkt dargestellt und müssen als Punkt eingegeben werden!

Das Skript wurde ausführlich getestet. Dennoch kann keine Gewähr für die Richtigkeit der Ergebnisse übernommen werden. Wichtig: Es findet keine Plausibilitätsprüfung der Eingabewerte statt. Natürlich kann mit einer Zähnezahl von zwei Zähnen gerechnet werden. Ob das technisch machbar ist, sei dahingestellt.

Umlaufrädergetriebe sind Zahnrad- oder Reibradgetriebe, die neben gestellfesten Wellen auch Achsen besitzen, die auf Kreisbahnen im Gestell umlaufen.[1] In vielen Ausführungen sind die umlaufenden Achsen parallel zu den gestellfesten Wellen, was anschaulich begründet, warum die Umlaufrädergetriebe oft auch als Planetenrädergetriebe (kurz: Planetengetriebe) bezeichnet werden. Die auf den umlaufenden Achsen drehenden Räder umkreisen ein zentrales Rad ähnlich wie Planeten die Sonne.

Umlaufrädergetriebe sind kompakt bauende Getriebe mit dem besonderen Merkmal, dass Antriebs- und Abtriebs-Welle zueinander fluchten.

Grundlegender Aufbau[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein einfaches Standgetriebe (keine umlaufenden Achsen) hat im Minimum zwei Wellen und ist einstufig (nur eine Radpaarung). Ein Umlaufrädergetriebe hat im Minimum zwei Wellen und eine umlaufende Achse und ist zweistufig. Zwei gestellfeste Wellen werden in technischen Anwendungen benötigt, man braucht eine treibende und eine getriebene Welle. Der Umlauf des Rades (Umlaufrad U, Bilder unten) muss koaxial zu beiden umkreisten Rädern (1 und 2), mit denen es gepaart ist, erfolgen. Folglich sind diese beiden gestellfest drehenden Räder sogenannte Zentralräder. Und beide und der Steg (S), der die Achse mit dem umlaufenden Rad trägt, sind gleichachsig.[2]

Unterschiedliche Bauformen ergeben sich aus der Form des zweiten Zentralrades (2) und dadurch, dass ein einfaches Umlaufrad (U) oder Umlaufradpaare (U1 und U2) vorkommen. Ist das zweite Zentralrad ein Hohlrad, so ist das Getriebe besonders schmal (einfaches Umlaufrad U).

  • Bauart 1: über den Umfang verteilte weitere Umlaufräder entlasten das Getriebe (hier; ein weiteres; Bild in Einleitung: zwei weitere)

  • Besondere Bauart:
    Kegelrad-Differentialgetriebe
    Das große Zahnrad ist nicht Bestandteil dieses besonderen Umlaufrädergetriebes.

Wenn die umlaufende Achse parallel zu den gestellfesten Wellen ist und alle Räder Stirnräder sind, erscheinen die Räder im achs-senkrechten Schnittbild als kreisförmige Körper. Das umlaufende Rad umkreist das außenverzahnte Zentralrad wie ein Planet, was zur generellen, aber nicht immer treffenden Bezeichnung der Umlaufgetriebe als Planetengetriebe geführt hat. Man spricht vom das Sonnenrad umkreisenden Planetenrad.

Beim Kegelrad-Differentialgetriebe, dem meist verwendeten Umlaufrädergetriebe, schneidet die Mittellinie der umlaufenden Achse die gestellfeste zentrale Mittellinie rechtwinklig. Seine Bezeichnung als Planetengetriebe ist im oben genannten Sinne nicht treffend. Die beiden Zentralräder sind spiegelbildlich gleiche Kegelräder. Das Umlaufrad ist auch ein Kegelrad, der Steg hat die Form eines Käfigs.

Betriebsarten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Allgemeinen hat ein Umlaufrädergetriebe drei Wellen, von denen aber oft eine festgehalten wird (Zweiwellenbetrieb), beispielsweise der Steg (siehe oben: zweite Illustration oder unten: Animation). Ist das Sonnenrad treibend, so ist das Hohlrad das getriebene und umgekehrt. Welche Welle/Rad festgehalten wird und welche/s als Antrieb beziehungsweise als Abtrieb dient, hängt von der zu lösenden Konstruktionsaufgabe ab.

In bestimmten Anwendungen drehen sich alle drei Wellen (Dreiwellenbetrieb). Dann sind zwei treibend und eins getrieben (Additionsgetriebe) oder umgekehrt (Verteilgetriebe).

Zweiwellenbetrieb[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Zweiwellenbetrieb ist das Getriebe zwangläufig (LaufgradF = 1). Beim Antrieb einer Welle ist die Drehung der zweiten eindeutig.

Man unterscheidet zwischen Standübersetzung und Umlaufübersetzung:

  • Bei der Standübersetzung steht die Stegwelle still, und die beiden Zentralradwellen (also Sonnen- und Hohlrad) bewegen sich. Die ruhende Welle kann fest mit dem Gehäuse verbunden sein oder durch eine Bremse oder eine Freilaufkupplung festgehalten werden.
  • Bei der Umlaufübersetzung steht eine der beiden Zentralradwellen still. An- und Abtrieb erfolgen über die drehende Zentralradwelle und über die Stegwelle.

Dreiwellenbetrieb[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Dreiwellenbetrieb hat das Getriebe zunächst den Laufgrad F = 2. Es arbeitet als Summiergetriebe oder Verteilgetriebe:

  • Beim Summiergetriebe treiben 2 Wellen an, und 1 Welle ist getrieben. Beispiel ist das Summiergetriebe in der Hinterradnabe eines Elektrofahrrads.[3] Die Antriebsdrehzahlen werden frei gewählt, die Abtriebsdrehzahl ist dadurch eindeutig. Durch die Vorgabe der beiden Antriebsbewegungen ist schließlich Zwangläufigkeit (F = 1) gewährleistet.
  • Beim Verteilgetriebe treibt eine Welle an und zwei Wellen sind getrieben. Das Drehzahlverhältnis der beiden Abtriebswellen muss festgelegt sein. Das bekannteste Beispiel eines Verteilgetriebes ist das Differentialgetriebe am Kraftfahrzeug. Hier wird das Drehzahlverhältnis durch den Radabstand und den Kurvenradius festgelegt. Durch den Reibkontakt der Räder mit dem Boden ist schließlich Zwangläufigkeit (F = 1) gewährleistet. Anders als im Zweiwellenbetrieb stützen sich die An- und Abtriebsmomente der Wellen nur untereinander ab. Wegen MS+M1+M2=0 bleibt das Gehäuse drehmomentfrei (vgl. Abschnitt Drehmomentübersetzung).

Selbsthemmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schon einfache Planetengetriebe sind zur Selbsthemmung fähig, d. h. Momente können nur in einer Antriebsrichtung übertragen werden. Bei gegebener Standübersetzung (i0) und Standwirkungsgrad () ist dies ein Bereich von , also mit i0 in der Nähe von +1 [4].

Mehrfach- oder Koppelgetriebe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Oft wird nicht nur der hier geschilderte einfache Umlaufradsatz als Umlaufgetriebe bezeichnet, sondern auch eine auf dieser Grundbauform beruhende Kombination mehrerer, ineinander oder hintereinander geschalteter Umlaufradsätze. Ein Beispiel ist eine Nabenschaltung am Fahrrad, bei der mit einem Mehrfachgetriebe mehr als die mit einem einfachen Umlaufradsatz erreichbaren drei Gänge möglich wurden.

Weitere Beispiele für Mehrfachgetriebe sind der Ravigneaux-Satz oder das Lepelletier-Getriebe.

Kinematik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kutzbachplan[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Übersetzungen am Umlaufrädergetriebe können anschaulich mit Hilfe des Kutzbachplanes dargestellt und graphisch ermittelt werden.

Willis-Gleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur analytischen Darstellung genügt eine einzige Gleichung, die sogenannte Willis-Gleichung:[Anmerkung 1]

.[5][6]

Darin ist die sogenannte Standübersetzung des Umlaufrädergetriebes, welche das Drehzahlverhältnis zwischen den beiden Zentralwellen 1 und 2 bei festgehaltenem Steg S beschreibt:

.

Meistens haben die beiden gleichachsigen Zentralräder gegensätzliche Drehrichtungen, und die Standübersetzung ist negativ (sogenanntes Minusgetriebe, Gegenteil: Plusgetriebe). Jedes der beiden Zentralräder kann treibendes Rad 1 oder getriebenes Rad 2 sein.

Im Folgenden wird die für die Willis-Gleichung benötigte Standübersetzung aus den Wälzradien der Getrieberäder bestimmt.[Anmerkung 2] Dazu wird der Ansatz verwendet, der dem Kutzbachplan zu Grunde liegt: Die Geschwindigkeit eines Umlaufrades U (vgl. Abbildungen unter Grundlegender Aufbau) verläuft längs seines rot dargestellten Radius (einschließlich seiner rückwärtigen Ergänzung zum Durchmesser) linear. Das gilt allgemein für rotierende Kreisflächen, deren Mittelpunkt senkrecht zum Radius bewegt wird. Bei Vorgabe von zwei der drei Umfangsgeschwindigkteten und kann aus der zugehörigen Verbindungsgeraden auf die dritte Umfanggeschwindigkeit geschlossen werden.

Fur die Bauarten mit Hohlrad oder Umlaufradpaaren (vgl. Bilder am Artikelanfang) erhält man die Umfangsgeschwindigkeit des jeweiligen 1. Zentralrades nach der Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung zu

bzw. .

Durch Übergang auf die entsprechenden Drehzahlen folgt

bzw. .

Für die Standübersetzung (d. h. für festgebremsten Steg) folgt daraus

bzw. .

Dieser Parameter erlaubt, beide Bauarten mit der nach R. Willis benannten Gleichung zu beschreiben.

Die Willis-Gleichung gilt unabhängig davon, wie das Umlaufrädergetriebe im Inneren aufgebaut ist. Die umlaufenden Räder werden von ihr nicht erfasst. Mit der Standübersetzung zwischen zwei der drei gestellfesten Wellen sind die übrigen Drehzahlverhältnisse zwischen den gestellfesten Wellen bestimmt. Dies lässt sich so erklären: Jede Bewegung eines Planetengetriebes kann als Superposition (Überlagerung) von zwei Teildrehungen betrachtet werden. Eine Teildrehung ergibt sich bei festgehaltenem Steg mit der Standübersetzung i0. Diese wird überlagert durch die Drehung des gesamten Planetengetriebes mit Steg[7].

Im Zweiwellenbetrieb gibt es sechs Kombinationen für eine treibende, eine getriebene und eine festgehaltene Welle. In der folgenden Tabelle ist die Willis-Gleichung beispielsweise für jeden dieser sechs Fälle umgestellt, wobei als Standübersetzung diejenige zwischen Sonnenrad (treibend) und Hohlrad (getrieben) gewählt ist:[8]

  (Da die Zähnezahl eines Hohlrades definitionsgemäß einen negativen Wert hat, ist im Beispiel negativ: Minusgetriebe).

Bei nicht gestuften umlaufenden Rädern errechnet sich die Relativdrehzahl des umlaufenden Rads gegenüber dem Steg (Minusradsatz) aus:

Diese Formel kann auch für die Berechnung der Relativdrehzahl des mit dem Hohlrad kämmenden umlaufenden Rads eines Plusradsatzes verwendet werden.

Die Zähnezahl und die Anzahl der umlaufenden Räder ist ohne Bedeutung für die Standübersetzung , hat aber einen Einfluss auf die Drehzahl der umlaufenden Räder und die maximal übertragbaren Drehmomente.

Drehmomentübersetzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Verhältnisse der Drehmomente untereinander lassen sich mit einem einfachen Hebelmodell oder aus einer Leistungsbilanz herleiten. Vorausgesetzt wird hier ein reibungsfreies Getriebe, also ein Wirkungsgrad von 100 %. Das rechts abgebildete Hebelmodell gilt drehzahlunabhängig. Mit Vorgabe des Drehmoments der Stegwelle erhält man und . Mit der oben definierten Standübersetzung folgen daraus die Drehmomentübersetzungen

und
.

In den Leistungsbilanzen und ist das Hohlrad 2 bzw. das Sonnenrad 1 ruhend vorausgesetzt. Die ruhenden Räder übertragen keine Leistung. Damit ergeben sich dieselben Drehmomentübersetzungen. Aus den letzten beiden Gleichungen ist abzulesen, dass die für alle Drehzahlen gültigen Drehmomentübersetzungen gleich dem negativen Kehrwert der Drehzahlübersetzungen in den entsprechenden Standfällen sind.

Um den Betriebszustand eines Planetengetriebes zu beschreiben genügen ein Drehmoment und zwei Drehzahlen (vgl. Willis-Gleichung).

Leistungsfluss[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Umlaufrädergetriebe in der Radnabe eines Traktors (Gehäuse aufgeschnitten): zentrales Sonnenrad (verdeckt), drei Umlaufräder, äußeres Hohlrad

Bauart 1: mit Hohlrad 2 und Umlaufrad U, das mit beiden Zentralrädern 1 und 2 gepaart ist

Bauart 2: mit Stirnrad 2 und Umlaufräderpaar U1, U2, die je mit nur einem Zentralrad gepaart sind

Zwei Bauarten eines Umlaufrädergetriebes
1 und 2: Zentralräder, S: Steg, U: Umlaufrad, : Radius, : Umfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit senkrecht zum Radius)
Umlaufradgetriebe im Zweiwellenbetrieb, Standübersetzung
Mehrfach-Umlaufradgetriebe in einer Fahrradnabenschaltung mit 14 Gängen
Hebelmodell eines reibungsfreien Planetengetriebes

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